ローマ字では姓と名どちらが先が正解か？

これからは「姓→名」がスタンダード

これまではオーソドックスな表記は「名→姓」でした。教育でもローマ字表記は「名→姓」と教えていたはずです。

2000年の国語審議会答申では、日本人の名にのローマ字表記において「姓→名」が望ましいとされ、2002年から中学校の教科書と、政府の公用文等が、原則として「姓→名」の順で表記されるようになり、今後は「姓→名」の表記が一般的になります。

「名→性」はいつごろからそうなった？

明治時代、欧米化を進めているころ多数の国が採用している「名→姓」の並びを使用することで、海外との足並みを揃える形になりました。
日本の姓名表記は、「姓＝ファミリーネーム」→「名＝ファーストネーム」です。この並びを使っている国は少数で、中国，韓国，ベトナム、欧米ではハンガリーのみです。

今後は「名→性」の順番は使ってはいけないの？

今回のローマ字表記については、あくまで国の統一見解であり、公文書をそのように切り替えていくということです。両方問題はありません。
民間企業に関しては、今回の「姓→名」への統一に関して切り替えている団体もありますが、混乱を招くとのことで切り替えていない企業もあります。